\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\newpage
	\section{自旋}
	\footnote{参考：Griffiths《量子力学导论》，Griffiths《粒子物理导论》。本笔记使用AI辅助}
	我对自旋的理解仍然不够深刻，所以可能理解上有瑕疵...
	
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=1.5]
			
			\tikzset{
				flat ball/.style={
					circle,
					draw=gray!30,
					fill=gray!10,
					minimum size=2cm
				}
			}
			
			% 左侧小球 - 仅平动
			\node[flat ball] (leftball) at (0,0) {};
			\draw[->, thick, blue] (0,0) -- (-0.3,-0.3) node[below left]{$x$};
			\draw[->, thick, red] (0,0) -- (0.5,0) node[right]{$y$};
			\draw[->, thick, green!70!black] (0,0) -- (0,0.5) node[above]{$z$};
			%\node[below] at (0,-1.2) {平动小球};
			
			% 右侧小球 - 平动+转动
			\node[flat ball] (rightball) at (4,0) {};
			\draw[->, thick, blue] (4,0) -- (4-0.3,-0.3) node[below left]{$x$};
			\draw[->, thick, red] (4,0) -- (4.5,0) node[right]{$y$};
			\draw[->, thick, green!70!black] (4,0) -- (4,0.5) node[above]{$z$};
			
			% 斜向转轴
			\draw[] (3.8,-0.8) -- (4.2,0.8) node[right]{};
			\begin{scope}[shift={(4.2,0.8)}, rotate=-10,scale = 0.2]
				\draw[->, thick, purple, line width=1pt] (0.5,0.3) arc (30:210:0.6cm and 0.3cm);
			\end{scope}
			
			%\node[below] at (4,-1.2) {转动小球};
		\end{tikzpicture}
		\caption{不严谨的示意图： a. 经典的粒子 b. 量子的粒子 （当然量子自旋并不是自转）}
	\end{figure}
	在经典力学中，一个粒子的运动仅限于其在（直角坐标系下的）$x,y,z$ 这三个方向上的平动，
	亦即只需要分别知道他在$x,y,z$方向上的位置和速度共六个物理量，就能完整确定这个粒子的状态：
	%$$
	%\{x,y,z,v_x,v_y,v_z\}
	%$$
	也就是说，一个经典粒子只有三个自由度、他不能自转等
	\footnote
	{
		我们常说的“粒子绕着某个点\textsl{转动}”的含义其实是，该粒子在做以该点为圆心的圆周运动、其依然是平动，只不过平动轨迹恰好是一个圆周；
		而“地球在自转”是因为地球是一个由很多粒子组成的固体，其中每一个粒子都在绕着转轴做圆周运动，
		使地球整体作为一个固体在转动。
	}。
	
	然而在量子力学中，一个粒子却可以“自旋”。
	也就是说，量子世界中的粒子除了在$x,y,z$方向上的运动自由度外，还具有\textbf{额外的、内禀的自由度}。
	然而正如每一篇关于自旋的文章都会提到，虽然量子的“自旋”看起来很像经典的“自转”，但这二者并不等同。
	或许对于初学者而言，我们最好回归自旋现象的早期术语，“内禀自由度”，来理解自旋。
	
	\subsection{自旋算符的定义与（不）互易性}
	类比角动量算符，我们直接引入自旋算符：
	\begin{equation}
		\bvec {\hat S} = 
		\matrx
		{
			\hat S_x \\
			\hat S_y \\
			\hat S_z \\
		} 
		\qquad 
		\hat S^2 = \hat S_x \cdot \hat S_x + \hat S_y \cdot \hat S_y + \hat S_z \cdot \hat S_z
	\end{equation}
	和角动量一致，我们依然有自旋算符的（不）互易关系，即
	自旋的各个分量间是\textbf{不互易}的，
	而自旋总量和各个分量又是\textbf{互易}的：
	\begin{equation}
		[\hat S_x, \hat S_y] = i \hbar \hat S_z
		\qquad  [\hat S_y, \hat S_z] = i \hbar \hat S_x
		\qquad  [\hat S_z, \hat S_x] = i \hbar \hat S_y
	\end{equation}
	\begin{equation}
		[\hat S^2, \hat S_x] = [\hat S^2, \hat S_y] = [\hat S^2, \hat S_z] = 0
	\end{equation}
	
	\subsection{自旋的本征值}
	仿照角动量本征值的写法，我们可以引入自旋的本征值；只不过自旋\textbf{允许$s$取半整数值}，而轨道角动量只允许$l$取整数值：
	\begin{equation}
		\hat S^2 \ket{\chi} = \hbar^2 s(s+1) \ket{\chi} \qquad S = \hbar \sqrt{s(s+1)} \qquad s=0,1/2,1,3/2,...
	\end{equation}
	\begin{equation}
		\hat S_z \ket{\chi} = \hbar m \ket{\chi} \qquad	S_z = \hbar m \qquad m = -s,-s+1,,...,s-1,s
	\end{equation}
	种种迹象表明，粒子自旋与“自转”非常相似。
	\textsl{正如Griffiths所说，“在大多数情况下把自旋理解为自转也不会出什么问题，只要你不把它写在作业上！”}
	
	\newpage
	
	\subsection{自旋的“本征函数”}
	和以往一样，我们迫切地想知道$\hat S$等算符的微分形式，然后解出其本征函数$\chi^m_s = \chi^m_s(x,y,z)$？
	%$$
	%\hat S^2 \chi^m_s = \hbar \sqrt{s(s+1)}\chi^m_s \quad \text{(错误！)}
	%$$
	事实上这是\textbf{不可能}的。
	正如我们不能用粒子在$x$方向上的速度$v_x$来描述粒子在$y$方向上的运动一样，
	由于自旋是粒子额外的自由度，
	我们也不可能用$x,y,z$上的坐标或速度描述粒子的自旋等。
	也就是说，$\chi^m_s$自成一体、不是关于$x,y,z$等的函数。
	
	如同Griffiths的书曾经拓展波函数、使其从一维$x$扩展到三维$x,y,z$，
	现在我们得拓展波函数、使其拓展\footnote{据我所知，数学上说，这种升维叫张量积}到“自旋维”：
	$$
	\Psi = \Psi(x,y,z) \chi^m_s
	$$
	作为简化有人也写$\chi^m_s = \ket{s, m}$。
	
	\subsection{自旋可以被改变吗？}
	值得一提的是，粒子自旋的大小$S$ \textbf{取决于粒子种类}。假如粒子种类没有变化，其自旋大小是不受外界干扰的、固定不变的。
	例如，对于基本粒子，夸克与电子的自旋为$s=1/2$，即他们的自旋大小总是$S = \hbar \sqrt{1/2(1/2+1)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hbar$，而光子的自旋$s=1$等。
	质子和中子作为夸克的复合粒子（一个质子或中子由三个夸克组成），其自旋一般为$s=1/2$。
	
	顺带一提，根据自旋是半整数$1/2,3/2,...$还是整数$0,1,2,...$，粒子被分为两大类，费米子与玻色子。
	例如，上述的夸克和电子具有半整数自旋，是费米子；而光子具有整数自旋，是玻色子。
	根据Pauli不相容原理，两个费米子不能处于同一量子态，而玻色子无此限制。
	这导致多粒子系统中费米子和玻色子的行为具有显著差异。
	
	此外，根据$m$的取值范围，电子的$s=1/2$意味着电子的$m$只能是$m=\pm 1/2$，即其$S_z$分量只能是$S_z = \frac{1}{2} \hbar $或$S_z = -\frac{1}{2} \hbar $，对应两种自旋本征态。
	这就是为什么我们说电子有两种自旋态。
	
	\newpage
	
	\subsection{自旋的Pauli矩阵；Stern-Garlach 实验}
	
	接下来我们要讨论一个问题：
	假设一个电子（自旋为$s=1/2$）处于$\ket{\chi} = \ket{\chi_z(m=1/2)}$的自旋量子态，即他的$S_z$量子数为$m_z=1/2$。
	现在我们测量它$S_x$的$m_x$，请问会得到什么结果？
	
	根据上文内容，由于$\hat S_x$与$\hat S_z$不互易，因此$m_x$的出现应该是按概率的，
	那这个概率具体是什么呢？这就是我们将要讨论的。
	
	\subsubsection*{回顾量子力学公理}
	
	我们简要回顾量子力学公理，并应用至当前的自旋语境。
	由于自旋“自成一体”，所以我们目前只需考虑自旋的状态，而暂时忽略$x,y,z$空间部分的波函数。
	
	由于$\hat S_x, \hat S_z$均为观测算符，而观测算符的本征函构成一组完备的基，
	所以电子的自旋态$\ket{\chi}$可被分别表述为$\hat S_x$或$\hat S_z$的本征态$\ket{\chi_x}, \ket{\chi_z}$的线性组合：
	$$
	\ket{\chi} = \alpha_z \ket{\chi_z(m_z=1/2)} + \beta_z \ket{\chi_z(m_z=-1/2)}
	$$
	$$
	\ket{\chi} = \alpha_x \ket{\chi_x(m_x=1/2)} + \beta_x \ket{\chi_x(m_x=-1/2)}
	$$
	其中$\ket{\chi_z(m=1/2)},\ket{\chi_z(m_z=-1/2)}$是$\hat S_z$的两个本征函数。
	
	然而，由于$\hat S_x$与$\hat S_z$不互易，所以$\hat S_x$的本征基$\ket{\chi_x}$不一定是$\hat S_z$的本征基$\ket{\chi_z}$。
	也就是说，$\ket{\chi_x}$仍可按$\ket{\chi_z}$被展开等，例如：
	$$
	\ket{\chi_x} = c_1 \ket{\chi_z(m=1/2)} + c_2 \ket{\chi_z(m=-1/2)}
	$$
	
	此外，根据概率诠释，一旦电子的$S_z$被观测，其将按概率进入某一本征态$\ket{\chi_z}$等。
	
	此为前提。
	
	\subsubsection*{Pauli矩阵}
	
	根据Pauli的做法，我们用$2 \times 1$向量分别表示$\ket{\chi_z}$的两种本征态：
	$$
	\ket{\chi(m_z=1/2)} = (1,0)^T \qquad \ket{\chi(m_z=-1/2)} = (0,1)^T 
	$$
	那么电子的任一自旋态现在具有了向量形式：
	$$
	\ket{\chi} = \alpha \ket{\chi(m_z=1/2)} + \beta \ket{\chi(m_z=-1/2)} = (\alpha, \beta)^T
	$$
	同时，在这种向量语言下，自旋本征方程如
	$$
	\hat S_z \ket{\chi_z} = \hbar m_z \ket{\chi_z}
	$$
	等将变为矩阵本征向量问题，而自旋算符将变为$2 \times 2$的矩阵。
	我们直接给出$\hat S_x, \hat S_y, \hat S_z$的矩阵形式：
	\begin{equation}
		\hat S_x = \frac{\hbar}{2} 
		\matrx{
			0 & 1 \\
			1 & 0
		}, \quad
		\hat S_y = \frac{\hbar}{2} 
		\matrx{
			0 & -i \\
			i & 0
		}, \quad
		\hat S_z = \frac{\hbar}{2} 
		\matrx{
			1 & 0 \\
			0 & -1
		}
	\end{equation}
	矩阵的本征值就是算符的本征值，均为$\pm \hbar/2$，符合自旋理论对$m$取值范围的约束；
	而矩阵的本征向量就是算符的本征函数，现在为$2\times1$的向量。
	这些矩阵的本征值和本征向量的具体形式将由下表给出。
	除去$\frac{\hbar}{2}$的部分，这三个矩阵也称Pauli矩阵。
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			\textbf{Operator} & \textbf{Eigenvalue} & \textbf{Eigenvector} \\ \hline
			$\hat{S}_x$ & $+\frac{\hbar}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}} \matrx{1 \\ 1}$ \\ \hline
			$\hat{S}_x$ & $-\frac{\hbar}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}} \matrx{1 \\ -1}$ \\ \hline
			$\hat{S}_y$ & $+\frac{\hbar}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}} \matrx{-i \\ 1}$ \\ \hline
			$\hat{S}_y$ & $-\frac{\hbar}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}} \matrx{i \\ 1}$ \\ \hline
			$\hat{S}_z$ & $+\frac{\hbar}{2}$ & $\matrx{1 \\ 0}$ \\ \hline
			$\hat{S}_z$ & $-\frac{\hbar}{2}$ & $\matrx{0 \\ 1}$ \\ \hline
		\end{tabular}
		\caption{Eigenvalues and Eigenvectors of Spin Operators}
		\label{tab:spin_eigen}
	\end{table}
	
	
	\subsubsection*{运用Pauli矩阵}
	
	接下来，我们将使用Pauli矩阵的语言解决开头的问题：
	假设一个电子（自旋为$s=1/2$）处于$\ket{\chi} = (1,0)^T$的自旋量子态，
	即
	$$\ket{\chi} = \ket{\chi_z(m_z=1/2)} = (1,0)^T$$
	现在我们测量它$S_x$的$m_x$，请问会得到什么结果？
	只需按$\ket{\chi_x}$展开$\ket{\chi}$，得到
	$$
	\ket{\chi} = (1,0)^T = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}} (1,1)^T) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1)^T) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\chi(m_x=1/2)}+\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\chi(m_x=-1/2)}
	$$
	也就是说，粒子的$m_x$有$(\frac{1}{\sqrt{2}} )^2 = 0.5$的机会为$1/2$，
	而有另外$0.5$的机会(在这个例子中刚好相同)为$-1/2$。
	这符合上述的自旋分量不互易性：$S_z$和$S_x$不能同时被确定。
	
	\newpage
	
	\subsubsection*{Stern-Garlach 实验}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{SG}
		\caption{SG实验示意图}
		\label{fig:sg}
	\end{figure}
	
	Stern-Garlach 实验被认为是20世纪最重要的实验成果之一，他检验了上述天方夜谭般的理论的准确性。
	抛开具体的实验细节不谈，Stern-Garlach 实验相当于多次观测电子的自旋态。
	
	\begin{itemize}
		\item 首先，大量电子从原子中被激发出来。这些粒子的自旋态$\ket{\chi}$应该处于某种叠加态。
		
		\item 现在观测电子的$S_z$。
		那么，有一定概率得到$\ket{\chi_z(m_z = 1/2)}$，而另一些概率得到$\ket{\chi_z(m_z = -1/2)}$，即电子的$S_z$有两种可能。
		这和经典情况很不同：如果电子是经典的，那么$S_z$的取值应该是连续的。
		
		\item 其次，收集这些已经被观测$S_z$的电子（注意根据观测公理，此时电子的自旋态已经坍塌为$\ket{\chi_z(m_z=1/2)}$或$\ket{\chi_z(m_z=-1/2)}$），
		比如说，那些处于$\ket{\chi_z(m_z=1/2)}$态的电子，随后再观测他们的$S_x$。
		如上文所述，有$50\%$概率得到$\ket{\chi_x(m_x = 1/2)}$，而另$50\%$得到$\ket{\chi_x(m_x = -1/2)}$。
		
		\item 随后，收集这些已经被观测$S_x$的电子，比如说，那些处于$\ket{\chi_x(m_x=1/2)}$态的电子，再重新观测他们$S_z$。
		如上文所述，应该有$50\%$概率得到$\ket{\chi_z(m_z = 1/2)}$，而另$50\%$得到$\ket{\chi_z(m_z = -1/2)}$。
		这又和经典情况不同：如果电子是经典的，那么电子的$S_z$应该保持不变，而不是再次按概率出现。
	\end{itemize}
	这里的“概率”可以不大准确地理解为，观测了大量电子，其中有$50 \%$的电子具有...的态。
	\newpage
	
	\section{电子自旋与电子磁矩}
	先前我们都把“电子”看作一个简单的、具有一定质量和电荷的粒子。
	然而，自从我们知道了电子还具有一定的自旋后，问题就变得更为有趣。
	
	\subsection{经典情况}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{spin}
		\caption{示意图：a. 一个旋转的带电小球；b. 一个圆周运动的粒子}
		\label{fig:spin}
	\end{figure}
	
	或许，自旋电子的经典类比是一个旋转的带电小球。
	我们知道，运动的电荷将产生电流，而电流将产生磁场，
	因此，由于自旋，电子将表现得像一个通电小线圈，从而具有磁矩并产生磁场。
	假设电子是一个带电量为$q$、半径为$R$、自转角速度为$\omega$的（有体积的）均匀带电小球，
	那么它的磁矩可由一个复杂的积分计算：
	\begin{equation}
		\bvec \mu = \frac{1}{2} \int_V \bvec r \times \bvec j \dd V = \frac{1}{5} q \omega R^2 \bvec{\hat z} 
	\end{equation}
	此外，它的自转角动量是
	\begin{equation}
		\bvec L = \int_V \bvec r \times \bvec p \dd V = \frac{2}{5} m \omega R^2 \bvec{\hat z} 
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		\bvec \mu = \frac{q}{2m} \bvec L
	\end{equation}
	这是经典物理预测的电子磁矩。
	
	这些积分计算确实有点繁琐，并且和我们的“主线剧情”关联不大，因此留在附录进行。
	如果你觉得这种方法过于枯燥，Griffiths给出了一种取巧的计算方法，也将在附录探讨。
	
	\subsection{量子情况}
	或许只要把电子自旋的$S$充当自转角动量代入上式，就能得到电子的磁矩$\bvec \mu = - \frac{q}{2m} \bvec S$？
	事实上，电子的磁矩大概是“经典预测”的二倍，因此最好补充上一个$g$系数（严格地说，并不刚好是两倍）：
	\begin{equation}
		\bvec \mu = - \frac{g q}{2m} \bvec S \quad g \approx 2.00
	\end{equation}
	(电子带负电，因此加入负号并取$q>0$)
	
	对于其他粒子，比如质子，它的$g \approx 5.59$；中子虽然不显电性，但它也具有磁矩。
	曾有高人指出，质子和中子奇怪的磁矩暗示了他们并非“基本”粒子。
	现在我们知道，质子和中子由夸克组成。
	
	\section{附件}
	
	\subsection{计算小球的角动量和磁矩：标准做法}
	
	\subsubsection*{角动量}
	我们知道，单一粒子的角动量是
	\begin{equation}
		\bvec L = \bvec r \times \bvec p = \bvec r \times (m \bvec v)
	\end{equation}
	为了计算刚体，比如旋转小球，的整体角动量，我们可以使用微积分的思想：
	将小球视为无数小块，每一块具有$\dd m$的质量，那么每一小块的角动量为$\dd \bvec L = \bvec r \times (\dd m \bvec v) = \bvec r \times \bvec v \rho \dd V$，
	随后相加所有小块的角动量以得到小球的角动量。
	因此，角动量的积分形式是
	\begin{equation}
		\bvec L = \int_V \bvec r \times \bvec v \rho \dd V
	\end{equation}
	其中$\rho$是密度。
	
	\subsubsection*{磁矩}
	磁矩的积分形式是（参考W站“磁矩”词条）：
	\begin{equation}
		\bvec \mu 
		= \frac{1}{2} \int_V \bvec r\times \bvec j \dd V
		= \frac{1}{2} \int_V \bvec r\times \bvec v \rho_e \dd V
	\end{equation}
	其中$\rho_e$是电荷密度。
	由于电路必须闭合才能形成电流，因此和角动量不同，单独的"$\bvec r \times \bvec j \dd V$"的含义不是很大。
	我们将论证，这和我们熟悉的、单一电流环磁矩的表达式是相同的：
	\begin{equation}
		\bvec \mu = I S \hat n
	\end{equation}
	其中$I$是电流，$S$是电流环围成的面积，$\hat n$是面法向量。
	论证如下（当然，在这种情况下，只有线上有电流密度，因此体积积分变为线积分）：
	\begin{equation}
		\bvec \mu 
		= \frac{1}{2} \int_l \bvec r\times \bvec j \dd l \bvec{\hat n}
		= 1/2 r j (2\pi r) \bvec{\hat n}
		= \pi r^2 j \bvec{\hat n}
		= I S \bvec{\hat n}
	\end{equation}
	
	\subsubsection*{积分}
	现在我们选用柱坐标，实际计算小球的角动量：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\bvec L & = \int \bvec r \times \bvec v \rho \dd V = 2 \int_{0}^R \int^{2\pi}_0 \int_0^{\sqrt{R^2-z^2}} r (\omega r) \rho r \dd r \dd \theta \dd z \bvec{\hat z} \\
			&= 4 \pi \rho \omega \int_{0}^R \int_0^{\sqrt{R^2-z^2}} r^3 \dd r \dd z \bvec{\hat z}  = \pi \rho \omega \int_{0}^R (R^2-z^2)^2 \dd z \bvec{\hat z} \\
			&= \pi \rho \omega \frac{8 R^5}{15} \bvec{\hat z} \\
			& = \frac{2}{5} m \omega R^2 \bvec{\hat z} 
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中$\rho = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R^3}$是（质量）密度。
	只需将质量密度换为电荷密度并补充$\frac{1}{2}$的系数，就能计算相应的磁矩：
	\begin{equation}
		\bvec \mu
		= \frac{1}{2} \int \bvec r \times \bvec v \rho_e \dd V
		= \frac{1}{5} q \omega R^2 \bvec{\hat z} 
	\end{equation}
	
	\subsection{计算小球的角动量和磁矩：取巧做法}
	Griffiths说\footnote{参考：Griffiths 《电动力学导论》以及《量子力学导论》}，
	我们可以取巧使用一个更简单的方法以得到形式上相同的结果：
	我们将自转的电子等效为一个带电量为$q$的点粒子正在进行半径为$R$、速度为$v$的圆周运动。
	
	这个环形电流的电流强度为：
	\begin{equation}
		I = \frac{q}{2 \pi R} v 
	\end{equation}
	其中$\frac{q}{2 \pi R}$相当于环线上的等效电荷密度。那么，相应的磁矩
	\begin{equation}
		\bvec \mu = I S \bvec {\hat n} = \frac{q}{2 \pi R} v  \cdot \pi R^2 \bvec {\hat n} = \frac{qR}{2} v \bvec {\hat n}
	\end{equation}
	这个粒子的圆周运动角动量
	\begin{equation}
		\bvec L = Rmv \bvec {\hat n}
	\end{equation}
	结合以上三式
	\begin{equation}
		\bvec \mu = \frac{q}{2m} \bvec L
	\end{equation}
	无需任何庞杂的积分，我们得到了相同的结果！
	
	\subsection{电子的经典半径}
	一个有趣的游戏是根据经典电动力学猜测电子的经典半径。
	在经典模型中，我们把电子视为一个（有体积的）自转小球。
	根据经典电动力学理论，这样一个带电小球的电势能是
	\begin{equation}
		E = \frac{3e^2}{20\pi\epsilon_0 r_e}
	\end{equation}
	其中$e$是电荷，$\epsilon_0$是真空介电常数，$r_e$是小球半径。
	此处“带电小球的电势能”可以理解为小球自身的能量，即从无穷小电荷$\dd q$构造这个小球所需的能量。
	你如果忘记怎么算电势能了，那么可以参考隔壁“符号计算带电小球的电势能”。
	另一方面，狭义相对论认为物体的静质量由自能确定：
	\begin{equation}
		E = mc^2
	\end{equation}
	其中$m$是质量。
	由此，我们得到经典半径的表达式
	\footnote
	{
		比较公认的结果，如Griffiths给出的是$r = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m c^2} \approx 2.81 \times 10^{-15} \mathrm{m}$，
		即计算小球电势能时忽略小球的结构。
		由于经典模型本身的根本性局限，具体系数差异并不具有实质物理意义。
	}：
	\begin{equation}
		r_e = \frac{3 e^2}{20 \pi \varepsilon_0 m c^2} \approx 1.68 \times 10^{-15} \mathrm{m}
	\end{equation}
	此外，根据经典磁矩公式计算其线速度$v = \omega r_e$：
	\begin{equation}
		v = \frac{5 \mu}{e r_e} = 1.7 \times 10^{11} \mathrm{m/s}
	\end{equation}
	约为$500$倍光速！显然，将电子视为经典小球是\textbf{不合理}的，否则相对论就不存在了。
	
	由于这个问题比较简单，我们还能玩一把量纲分析：
	已知电场强度$E \approx \frac{1}{\varepsilon_0}\frac{e}{r^2}$，
	电场能量$E_p \approx \frac{\varepsilon_0}{2} \int E^2 \dd V$
	因此 $E_p \approx \frac{\varepsilon_0}{2} \frac{1}{\varepsilon_0^2} \frac{e^2}{r^4} r^3 \approx \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{Q^2}{r}$。
	结合$E = mc^2$，我们发现长度的数量级为$r \approx \frac{e^2}{\varepsilon_0 m c^2}$，和上述结果只相差常数项。
	此外，根据磁矩的量纲，$\mu = I S \approx e/T*r^2$，我们推测$\mu \approx e v r$，即$v = \frac{\mu}{e r}$，同样只相差常数项。
	
\end{document}